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350년된 수학 문제를 풀것이다
현존하는 미해결 수학 문제로서 가장 악명 높은 것은 페르마 의 마지막 정리’라는 350년 전의 추측입니다. 어제 수학 자들은 그 문제가 새로운 공격에 굴복하게 될 것 같다 고말했다 지난달 일본의 정수론자 미야오카 요이치Miyaoka Yoichi가 독일 본 소재 막스 플랑크 연구소에서 그럴듯 한 증명을 대략적으로 설명했습니다. 그의 발표를 듣고 한 동료가 급히 필기한 메모가 전 세계로 퍼졌고 많은 사 람이열광했다 수학자들은 아직은 이 새로운 접근방법을 어떻게 평가해야 할지 알 수 없다고 말했댜 미야오카 박사는 잊을수없는한마디 이 추측은 17세기 프랑스 수학자 피에르 페르마가 제안했고, 1637년경 그의 이름을 따라 불리게 되었다 페르마는 이 정리를 라틴어 수학 교과서의 여백에 휘 갈겨 적었습니다.
그는 n이 2보다 클 때 X, y, z 중 하나가 0이거나 모두 0인 경우를 제외하고 방정식 xn+yn=zn 을 만족시킬 수 있는 정수들의 조합이 존재하지 않는 다고주장했다. n이 2일 때는 해가 무한히 많다. 32+42=52처럼 두 완전 제곱수의 합이 세 번째 완전제곱수와 같다 페르 마의 주장은 세제곱수 이상의 제곱수의 경우에 그런 합이 발견되지 않는다는 것이댜 그런 다음 그는 수학 연보에 기록된 가장 유명한 한마디를 덧붙였습니다. “나는 이 정리에 대한 정말 기막힌 증명을 발견했는 데, 여기 여백이 모자라서 쓰지 못했다" 이 말은 수 세기 동안 그의 뒤를 이은 사람들의 머 릿속에서 떠나지 않았다. 잃어버린 금광’ 르마가 사실은 그렇게 많이 알고 있지 않았다는 것을 감안하고 그가 무슨 생각을 했는지를 상상하려고 노 력했다”고말했다 페르마의 추측에 대한 미야오카의 풀이는 페르마의 수수께끼 같은 글보다는 다소 양이 많다. 하지만 여전 히 놀라울 정도로 간단명료합니다.
그사람의 풀이를 잘 알고 있는 전문가들의 말에 따르면 5에서 10페이지 정도는 될 것 같지만 수학자들은 여전히 신중하다. 한 정수론자는 “아직까지 그 누구도 판단을 하지 못 하고 있다 그 메모는 매우 대략적이라서 어떤 식으로 든 결론내리기 어려울 것이다"라고 말했습니다. 풀리지 않는 걸로 가장 악명 높은 수학 문제, 페르 마의 마지막 정리가 이번 달에는 일본 정수론자가 내 놓은 공격을 물리친 것 같다. 막스 플랑크 연구소의 전문가들이 정수론자 미야오 카 요이치의 초고를 검토한 후, 적어도 지금은 심각하 게 보이는 결함을 발견했다. 막스 플랑크 연구소의 정수론자 돈 자이에Don Zagier는 “이건 좀 문제가 있어 보인다 많은 결점이 있 었다. 일부는 쉽게 처리할 수 있었지만, 상당히 우려되 는 점들이 몇 가지 생겼다 미야오카도 지금 자신의 증가가 350년 동안 씨름했습니다.
그 사람은 n이 2보다 클 때 X, Y, z 중 하나가 0이거나 모두 0인 경우를 제외하고 방 정식 xn+yn=zn을 만족시킬 수 있는 정수들의 조합이 촌재하지 않는다고 주장했다. n이 2일 때는 해가 무한히 많다 32+42=52처럼 두 완전 제곱수의 합이 세 번째 완전제곱수와 같다. 페르 마의 주장은 세제곱수 이상의 제곱수의 경우에 그런 합이 발견되지 않는다는 것이었다. 공식적인 논평을 꺼리는 미야오카 박사는 자신이 더 일반적인 결과를 증명했고, 그것은 이차적으로 페 르마의 마지막 정리 역시 증명했거나 거의 증명한 것 이라고 조심스럽게 제안했다 하나의 맹점이 남아 있 지만 수학자들은 약간의 컴퓨터 계산으로 보완이 되 었을것이라고말했습니다. 수학의 역사는 페르마의 마지막 정리에 대한 실패 한 증명으로 가득하댜 하지만 수학자들에게 그 문제 에 다가가는 길이 과거보다 조금 쉬워진 것 같다. 정수 론의 발전에 중요한 역할을 했던 탁월한 수학자 말이맞을지 모른다"라고 자이에 박사가 말했습니다.
지금까지 오래된 문제들 중에 아직까지 해결되지 않은 것은 많지 않습니다. 그리고 그 어느 것도 페르마의 마지막 정리 만큼 악명 높지는 않다 그래서 지난달 내내 수학계의 전화선과 컴퓨터 통신망은 이 350년 목은 수수께끼가 마침내 무릎을 꿇었다는 뉴스로 불이 났다. 그러나 그 뉴스는 또 하나의 허위 경보에 지나지 않 았다 수학자 미야오카 요이치의 동료들은 답에 가까 이 갔다는 말을 퍼뜨렸지만, 전문가들이 그의 초고를 보았을 때 바로 무언가를 발견하고 정증하게 ‘결함' 또 는 더 다듬어야 하는 곳'이라고 설명했다. 적어도 어떤 면에서 보면 아직까지 남아 있는 몇 가지 역사 적인 수수께끼는 현대 수학에서 전대의 귀물이 되어 그 수수께끼의 진정한 중요성보다 신비로움이 더 소 중히 여겨지고 있다 미야오카의 접근법은 실제로 정 수론에서 훨씬 더 광범위한 문제롤 해결했습니다.
그 방법 이 페르마의 마지막 정리를 해결했다면, 그 방법의 ‘부 산물의 부산물의 부산물’로서 덩달아 해결된 것으로 봐야할것이다 프린스턴대학의 정수론자 게르트 팔팅스Gerd Faltings는 “그것은 하나의 특별한 예에 불과하다. 대개 사람들은 수학자들과 함께 어떤 문제를 폴면 그 증명 이 그 이상의 무언가를 할 수 있게 되기를 기대한다" 고말했다. 위대하고 오래된 그 문제에는 여전히 특별한 매력 이 있다. 수학이 불가사의하고 난해해질수록, 이 희귀 한 문제들을 플 수 있을 거라는 기대가 생겨 자주 입에 오르내리게된다. 게다가 미해결된 문제 가운데 페르마의 정리는 수 주위에서성장했다 AT&T 벨연구소 수학 부문 수석연구원 로널드 그레 이엄Ronald Graham은 ‘‘페르마의 정리는 우리가 지적 생명체로서 얼마나 멀리 나아가야 하는지를 일깨워주고 있습니다.
이러한 문제들이 많이 있어서 끊임없이 일깨워줘야 할 필요는 없지만 하나는 있어야 한다”고 말했다. 페르마의 정리의 핵심은 이해하기 매우 쉬워서 수 천 명의 비전문가가 증명에 덤벼들었다 그리하여 틀 린 증명들이 잇달아 대학 수학과의 우편함을 가득 채 웠댜 오락수학의 대부이자 <사이언티픽 아메리 칸ScientificAmerican》 ‘수학 게임’의 장기 연재 칼럼니 스트 마틴 가드너Martin Gardner는 증명을 평가해달라 는 독자들의 요청이 쇄도하자 거절하는 내용의 우편 엽서를인쇄해서보냈다 여백의증명 페르마의 정리-더 정확하게 말하면, 추측―은 정 수론에 속한다. 페르마는 n이 2보다 클 때 방정식 an+bn=cn를 만족하는 해 a, b, c가 존재하지 않습니다.
다른 제곱수와 같다. 페르마는 세제곱 이상의 제곱수 의 그런 합이 발견되지 않는다고 주장했다. 문제만큼 유명한 것은 페르마가 증명을 급히 적으 며 써놓은 함축적인 언급이었다 “이 정리를 정말로 경 이로운 방법으로 증명했는데 여백이 너무 좁아서 쓸 수가 없댜” 페르마가 남긴 한마디는 수 세기 동안 계 속 회자되었고 수학자들의 신경을 계속 자극했다. 몇 년 전 여름, 뉴욕의 8번가 BMT 지하철역 벽에 이런 낙서가 등장했다 페르마의 방정식과 더불어 ‘‘이 증명 을 아주 기막히게 증명했는데 지금 막 지하철이 다가 오고 있어서 그걸 쓸 시간이 없댜" 페르마는 그런 문제들을 다루는 뛰어난 직관력을 갖고 있었고, 그의 다른 추측들 중 다수가 나중에 참이 라고 증명되었다.(페르마의 마지막 정리가 정말로 그의 마 지막 정리는 아니었다) 수학자들은 곧 그 주장이 세제곱 수 네제곱수의 경우에, 그리고 그 이상의 제곱수의 경 우에도 옳다는 것을 보여줄 수 있었다 지난번의 계산 에서는 지수가 150,000 이하의 경우에 어떤 반례도은 페르마의 정리처럼 처음에는 설득력 있는 것처럼 보이다가 거짓으로 판명되기도 했습니다. 가령 예를 들어 18세 기에 레온하르트 오일러Leonhard Euler는 a4+b4+c4=d4를 만족하는 정수해가 없다고 제안했 댜 다른 말로 하면, 네제곱수 세 개를 더한 값이 다른 네제곱수가 되는 경우는 없댜 작은 수의 경우에는 오 일러의 추측이 옳은 것처럼 보였다. 하지만 바로 지난 여름, 하버드대학의 수학자 노암 엘키스Noam Elkies가 틀렸다는 것을 증명했습니다.
다만 반례 하나는 씽킹머신 Thinking Machines Corporation의 로저 프라이 Roger Frye가 오랜 컴퓨터 검색을 통해 찾아냈다. 95,8004+217,5194+414,5604=422,4814였다 그러는 동안 20세기 내내 문제가 참이라는 이유만 으로 그 문제가 원칙적으로라도 증명될 수 있다는 것 을 의미하지 않는다는 것을 깨닫게 되었다. 쿠르트 괴 델Kurt Godel의 불완전성 정리는 아무리 훌륭한 논리 체계라도―수학자들은 자신들의 세계를 논리 체계로 생각하고 싶어 합니다.